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輔導教案 |
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授課教師 |
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課時： 課時 |
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教學課題 |
平均變化率的概念及幾何意義； |
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教學目標 |
1．了解平均變化率的幾何意義； 2．會求函數在某點處附近的平均變化率
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教學重點與難點 |
平均變化率的概念，導數的幾何意義 |
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教學過程 教學過程 一、復習預習 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢? 問題2 高臺跳水 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
二、知識講解 本節課主要知識點解析，中高考考點、易錯點分析 考點1：平均變化率概念 1．上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率 2．若設, (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3． 則平均變化率為
考點2導數的概念 從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:
我們稱它為函數在出的導數，記作或，即
說明：（1）導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 （2），當時，，所以 考點/3導數的幾何意義 函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率， 即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟: ①求出P點的坐標; ②求出函數在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率； ③利用點斜式求切線方程.
三、例題精析 【例題1】已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 ． 【答案】 【解析】解：， ∴ 【例題2】求在附近的平均變化率 【答案】 【解析】解：，所以
所以在附近的平均變化率為 【例題3】求函數y=3x2在x=1處的導數. 【答案】6 【解析】：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2 再求再求 【例題4】:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程. 【答案】 【解析】, 所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即
四、課堂運用 【基礎】 1. 求在到之間的平均變化率，并求，時平均變化率的值. 【解析】當變量從變到時，函數的平均變化率為
當，時，平均變化率的值為：.
2. 求函數y=5x2+6在區間[2，2+]內的平均變化率 【解析】 ， 所以平均變化率為 【鞏固】 1. 自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內的平均速度（位移s的單位為m）。 【解析】要求平均速度，就是求的值，為此需求出、。 設在[3，3.1]內的平均速度為v1，則 ， 。 所以。 同理。 。
2. 過曲線上兩點和作曲線的割線，求出當時割線的斜率.
【解析】當時
…… 【拔高】 1. 用導數的定義，求函數在x=1處的導數 ∵
∴ ∴。
2. 已知函數可導，若，，求 【解析】 （）
（令t=x2，x→1，t→1）
課程小結 1．函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為x2－x1(x1). 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則平均變化率可表示為Δx(Δy). 2．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數 (1)定義 稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率li Δx(Δy)＝ li Δx(x0)為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li Δx(Δy). (2)幾何意義 函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
課后作業 【基礎】 1. 利用導數的定義求下列函數的導數： （1）； （2）； （3）； （4）。 【解析】（1）， ∴， ∴。 （2）， ∴， ∴。 （3）， ∴， ∴。 （4）， ∴， ∴。
【鞏固】 1.求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程. 【解析】, 所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即
2.求函數y=3x2在點處的導數. 【解析】因為 所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即
【拔高】 1.已知函數可導，若，，求 【解析】
2.在曲線y=x2上過哪一點的切線： （1）平行于直線y=4x―5； （2）垂直于直線2x―6y+5=0； （3）與x軸成135°的傾斜角。 【解析】， 設所求切點坐標為P（x0，y0），則切線斜率為k=2x0 （1）因為切線與直線y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4， 即P（2，4）。 （2）因為切線與直線2x―6y+5=0垂直，所以，得，， 即。 （3）因為切線與x軸成135°的傾斜角，所以其斜率為―1。即2x0=―1，得，， 即。
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課后作業 【基礎】 函數在某一點的導數是( ) A．在該點的函數的增量與自變量的增量的比 B．一個函數 C．一個常數，不是變數 D．函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率 【答案】 C 【解析】由導數定義可知，函數在某一點的導數，就是平均變化率的極限值．
【鞏固】 質點M的運動規律為s＝4t＋4t2，則質點M在t＝t0時的速度為( ) A．4＋4t0 B．0 C．8t0＋4 D．4t0＋4t0(2) 【答案】 C 【解析】Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt， Δt(Δs)＝4Δt＋4＋8t0， limΔt→0 Δt(Δs)＝limΔt→0 (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
【拔高】 1.函數y＝f(x)，當自變量x由x0改變到x0＋Δx時，Δy＝( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 【答案】 D 【解析】Δy看作相對于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
2. f(x)在x＝x0處可導，則limΔx→0 Δx(x0)( ) A．與x0，Δx有關 B．僅與x0有關，而與Δx無關 C．僅與Δx有關，而與x0無關 D．與x0，Δx均無關 【答案】 B 【解析】式子limΔx→0 Δx(x0)表示的意義是求f′(x0)，即求f(x)在x0處的導數，它僅與x0有關，與Δx無關． |
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編輯者：成都家教網（www.csdkc.com)