輔導教案 |
|||||||
學生姓名 |
|
|
|
年級 |
|
學科 |
|
授課教師 |
|
上課時間 |
年 月 日 |
|
課時: 課時 |
||
教學課題 |
平均變化率的概念及幾何意義; |
||||||
教學目標 |
1.了解平均變化率的幾何意義; 2.會求函數在某點處附近的平均變化率
|
||||||
教學重點與難點 |
平均變化率的概念,導數的幾何意義 |
||||||
教學過程 教學過程 一、復習預習 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢? 問題2 高臺跳水 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
二、知識講解 本節課主要知識點解析,中高考考點、易錯點分析 考點1:平均變化率概念 1.上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率 2.若設, (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3. 則平均變化率為
考點2導數的概念 從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:
我們稱它為函數在出的導數,記作或,即
說明:(1)導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 (2),當時,,所以 考點/3導數的幾何意義 函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率, 即 說明:求曲線在某點處的切線方程的基本步驟: ①求出P點的坐標; ②求出函數在點處的變化率 ,得到曲線在點的切線的斜率; ③利用點斜式求切線方程.
三、例題精析 【例題1】已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 . 【答案】 【解析】解:, ∴ 【例題2】求在附近的平均變化率 【答案】 【解析】解:,所以
所以在附近的平均變化率為 【例題3】求函數y=3x2在x=1處的導數. 【答案】6 【解析】:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)2 再求再求 【例題4】:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程. 【答案】 【解析】, 所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為即
四、課堂運用 【基礎】 1. 求在到之間的平均變化率,并求,時平均變化率的值. 【解析】當變量從變到時,函數的平均變化率為
當,時,平均變化率的值為:.
2. 求函數y=5x2+6在區間[2,2+]內的平均變化率 【解析】 , 所以平均變化率為 【鞏固】 1. 自由落體運動的運動方程為,計算t從3s到3.1s,3.01s,3.001s各段內的平均速度(位移s的單位為m)。 【解析】要求平均速度,就是求的值,為此需求出、。 設在[3,3.1]內的平均速度為v1,則 , 。 所以。 同理。 。
2. 過曲線上兩點和作曲線的割線,求出當時割線的斜率.
【解析】當時
…… 【拔高】 1. 用導數的定義,求函數在x=1處的導數 ∵
∴ ∴。
2. 已知函數可導,若,,求 【解析】 ()
(令t=x2,x→1,t→1)
課程小結 1.函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率 函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率為x2-x1(x1). 若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為Δx(Δy). 2.函數y=f(x)在x=x0處的導數 (1)定義 稱函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率li Δx(Δy)= li Δx(x0)為函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=li Δx(Δy). (2)幾何意義 函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0))處切線的斜率.相應地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
課后作業 【基礎】 1. 利用導數的定義求下列函數的導數: (1); (2); (3); (4)。 【解析】(1), ∴, ∴。 (2), ∴, ∴。 (3), ∴, ∴。 (4), ∴, ∴。
【鞏固】 1.求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程. 【解析】, 所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為即
2.求函數y=3x2在點處的導數. 【解析】因為 所以,所求切線的斜率為6,因此,所求的切線方程為即
【拔高】 1.已知函數可導,若,,求 【解析】
2.在曲線y=x2上過哪一點的切線: (1)平行于直線y=4x―5; (2)垂直于直線2x―6y+5=0; (3)與x軸成135°的傾斜角。 【解析】, 設所求切點坐標為P(x0,y0),則切線斜率為k=2x0 (1)因為切線與直線y=4x―5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4, 即P(2,4)。 (2)因為切線與直線2x―6y+5=0垂直,所以,得,, 即。 (3)因為切線與x軸成135°的傾斜角,所以其斜率為―1。即2x0=―1,得,, 即。
|
|||||||
課后作業 【基礎】 函數在某一點的導數是( ) A.在該點的函數的增量與自變量的增量的比 B.一個函數 C.一個常數,不是變數 D.函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率 【答案】 C 【解析】由導數定義可知,函數在某一點的導數,就是平均變化率的極限值.
【鞏固】 質點M的運動規律為s=4t+4t2,則質點M在t=t0時的速度為( ) A.4+4t0 B.0 C.8t0+4 D.4t0+4t0(2) 【答案】 C 【解析】Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4Δt2+4Δt+8t0Δt, Δt(Δs)=4Δt+4+8t0, limΔt→0 Δt(Δs)=limΔt→0 (4Δt+4+8t0)=4+8t0.
【拔高】 1.函數y=f(x),當自變量x由x0改變到x0+Δx時,Δy=( ) A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx C.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0) 【答案】 D 【解析】Δy看作相對于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
2. f(x)在x=x0處可導,則limΔx→0 Δx(x0)( ) A.與x0,Δx有關 B.僅與x0有關,而與Δx無關 C.僅與Δx有關,而與x0無關 D.與x0,Δx均無關 【答案】 B 【解析】式子limΔx→0 Δx(x0)表示的意義是求f′(x0),即求f(x)在x0處的導數,它僅與x0有關,與Δx無關. |
編輯者:成都家教網(www.csdkc.com)