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        北師大版高中數學選修一第三章:《導數的概念及其幾何意義-平均變化率的概念及幾何意義》教案


        來源:成都家教網 日期:2020/2/20

        輔導教案

        學生姓名

         

         

         

        年級

         

        學科

         

        授課教師

         

        上課時間

           年   月   日

         

        課時:  課時

        教學課題

         平均變化率的概念及幾何意義;

        教學目標

        1.了解平均變化率的幾何意義;

        2.會求函數在某點處附近的平均變化率

         

        教學重點與難點

        平均變化率的概念,導數的幾何意義

        教學過程

        教學過程

           一、復習預習

        問題氣球膨脹率

            我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?

        問題2  高臺跳水

        在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

         

           二、知識講解

        本節課主要知識點解析,中高考考點、易錯點分析

        考點1平均變化率概念

        1.上述問題中的變化率可用式子  表示, 稱為函數f(x)x1x2的平均變化率

        2.若設,  (這里看作是對于x1的一個增量可用x1+代替x2,同樣)

        3. 則平均變化率為

         

        考點2導數的概念

        從函數y=f(x)x=x0處的瞬時變化率是:

         

        我們稱它為函數在出的導數,記作或,即

                         

        說明:(1)導數即為函數y=f(x)x=x0處的瞬時變化率

             2,當時,,所以

        考點/3導數的幾何意義

        函數y=f(x)x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率,

        說明:求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:

        ①求出P點的坐標;

        ②求出函數在點處的變化率 ,得到曲線在點的切線的斜率;

        ③利用點斜式求切線方程.

         

         三、例題精析

        【例題1已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,         

          【答案】

          【解析】解:,

        【例題2在附近的平均變化率

         【答案】

        【解析】解:,所以

         

           所以在附近的平均變化率為

        【例題3求函數y=3x2x=1處的導數.

          【答案】6

          【解析】先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f()=6Δx+(Δx)2

          再求再求

        【例題4:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.

        【答案】

        【解析】,

        所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為

         

         四、課堂運用

        【基礎】

           1. 在到之間的平均變化率,并求,時平均變化率的值.

        【解析】當變量從變到時,函數的平均變化率為

         

        ,時,平均變化率的值為:.

         

           2. 求函數y=5x2+6在區間[2,2+]內的平均變化率

           【解析】  ,

        所以平均變化率為

        【鞏固】

           1. 自由落體運動的運動方程為,計算t3s3.1s,3.01s,3.001s各段內的平均速度(位移s的單位為m)。

        【解析】要求平均速度,就是求的值,為此需求出、。

        設在[3,3.1]內的平均速度為v1,則

        ,

        。

        所以。

        同理。

        。

         

         2. 過曲線上兩點和作曲線的割線,求出當時割線的斜率.

         

        【解析】

         

              ……

        【拔高】

           1. 用導數的定義,求函數x=1處的導數

                   

                   

        。

         

           2. 已知函數可導,若,,求

          【解析】    

            

              (令t=x2,x1,t1

            

            

         

        課程小結

          1.函數yf(x)x1x2的平均變化率

        函數yf(x)x1x2的平均變化率為x2-x1(x1).

        Δxx2x1,Δyf(x2)f(x1),則平均變化率可表示為Δx(Δy).

        2函數yf(x)xx0處的導數

        (1)定義

        稱函數yf(x)xx0處的瞬時變化率li Δx(Δy)

        li Δx(x0)為函數yf(x)xx0處的導數,記作f(x0)y|xx0,即f(x0)li Δx(Δy).

        (2)幾何意義

        函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0,f(x0))處切線的斜率.相應地,切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)

         

        課后作業

        【基礎】

          1. 利用導數的定義求下列函數的導數:

        1;

        2;

        3;

        4。

        【解析1,

        ,

        。

        2,

        ,

        。

        3,

        ,

        。

        4,

        ,

        。

         

        【鞏固】

          1.求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.

        【解析,

        所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為

         

        2.求函數y=3x2在點處的導數.

        【解析因為

        所以,所求切線的斜率為6,因此,所求的切線方程為

         

        【拔高】

          1.已知函數可導,若,,求

        【解析

            

            

            

            

        2.在曲線y=x2上過哪一點的切線:

        1)平行于直線y=4x5;

        2)垂直于直線2x6y+5=0;

        3)與x軸成135°的傾斜角。

        【解析】,

        設所求切點坐標為Px0,y0),則切線斜率為k=2x0

        1)因為切線與直線y=4x5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,

        P2,4)。

        2)因為切線與直線2x6y+5=0垂直,所以,得,,

        。

        3)因為切線與x軸成135°的傾斜角,所以其斜率為―1。即2x0=1,得,,

        。

         

         

         

         

        課后作業

        【基礎】

        函數在某一點的導數是(  )

        A.在該點的函數的增量與自變量的增量的比

        B.一個函數

        C.一個常數,不是變數

        D.函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率

        【答案】C

        【解析】由導數定義可知,函數在某一點的導數,就是平均變化率的極限值.

         

        【鞏固】

        質點M的運動規律為s4t4t2,則質點Mtt0時的速度為(  )

        A44t0   B0

        C8t04   D4t04t0(2)

        【答案】C

        【解析】Δss(t0Δt)s(t0)t2t8t0Δt,

        Δt(Δs)t48t0,

        limΔt→0 Δt(Δs)limΔt→0 (4Δt48t0)48t0.

         

        【拔高】

        1.函數yf(x),當自變量xx0改變到x0Δx時,Δy(  )

        Af(x0Δx)   Bf(x0)Δx

        Cf(x0)·Δx   Df(x0Δx)f(x0)

        【答案】D

        【解析】Δy看作相對于f(x0)增量,可用f(x0Δx)f(x0)代替.

         

        2. f(x)xx0處可導,則limΔx→0 Δx(x0)(  )

        A.與x0,Δx有關

        B.僅與x0有關,而與Δx無關

        C.僅與Δx有關,而與x0無關

        D.與x0,Δx均無關

        【答案】B

        【解析】式子limΔx→0 Δx(x0)表示的意義是求f(x0),即求f(x)x0處的導數,它僅與x0有關,與Δx無關.

         

        編輯者:成都家教網www.csdkc.com)



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