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    北師大版高中數學選修一第三章:《導數的概念及其幾何意義-平均變化率的概念及幾何意義》教案


    來源:成都家教網 日期:2020/2/20

    輔導教案

    學生姓名

     

     

     

    年級

     

    學科

     

    授課教師

     

    上課時間

       年   月   日

     

    課時:  課時

    教學課題

     平均變化率的概念及幾何意義;

    教學目標

    1.了解平均變化率的幾何意義;

    2.會求函數在某點處附近的平均變化率

     

    教學重點與難點

    平均變化率的概念,導數的幾何意義

    教學過程

    教學過程

       一、復習預習

    問題氣球膨脹率

        我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?

    問題2  高臺跳水

    在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

     

       二、知識講解

    本節課主要知識點解析,中高考考點、易錯點分析

    考點1平均變化率概念

    1.上述問題中的變化率可用式子  表示, 稱為函數f(x)x1x2的平均變化率

    2.若設,  (這里看作是對于x1的一個增量可用x1+代替x2,同樣)

    3. 則平均變化率為

     

    考點2導數的概念

    從函數y=f(x)x=x0處的瞬時變化率是:

     

    我們稱它為函數在出的導數,記作或,即

                     

    說明:(1)導數即為函數y=f(x)x=x0處的瞬時變化率

         2,當時,,所以

    考點/3導數的幾何意義

    函數y=f(x)x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率,

    說明:求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:

    ①求出P點的坐標;

    ②求出函數在點處的變化率 ,得到曲線在點的切線的斜率;

    ③利用點斜式求切線方程.

     

     三、例題精析

    【例題1已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,         

      【答案】

      【解析】解:,

    【例題2在附近的平均變化率

     【答案】

    【解析】解:,所以

     

       所以在附近的平均變化率為

    【例題3求函數y=3x2x=1處的導數.

      【答案】6

      【解析】先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f()=6Δx+(Δx)2

      再求再求

    【例題4:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.

    【答案】

    【解析】,

    所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為

     

     四、課堂運用

    【基礎】

       1. 在到之間的平均變化率,并求,時平均變化率的值.

    【解析】當變量從變到時,函數的平均變化率為

     

    ,時,平均變化率的值為:.

     

       2. 求函數y=5x2+6在區間[2,2+]內的平均變化率

       【解析】  ,

    所以平均變化率為

    【鞏固】

       1. 自由落體運動的運動方程為,計算t3s3.1s,3.01s,3.001s各段內的平均速度(位移s的單位為m)。

    【解析】要求平均速度,就是求的值,為此需求出、。

    設在[3,3.1]內的平均速度為v1,則

    ,

    。

    所以。

    同理。

    。

     

     2. 過曲線上兩點和作曲線的割線,求出當時割線的斜率.

     

    【解析】

     

          ……

    【拔高】

       1. 用導數的定義,求函數x=1處的導數

               

               

    。

     

       2. 已知函數可導,若,,求

      【解析】    

        

          (令t=x2,x1,t1

        

        

     

    課程小結

      1.函數yf(x)x1x2的平均變化率

    函數yf(x)x1x2的平均變化率為x2-x1(x1).

    Δxx2x1,Δyf(x2)f(x1),則平均變化率可表示為Δx(Δy).

    2函數yf(x)xx0處的導數

    (1)定義

    稱函數yf(x)xx0處的瞬時變化率li Δx(Δy)

    li Δx(x0)為函數yf(x)xx0處的導數,記作f(x0)y|xx0,即f(x0)li Δx(Δy).

    (2)幾何意義

    函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0,f(x0))處切線的斜率.相應地,切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)

     

    課后作業

    【基礎】

      1. 利用導數的定義求下列函數的導數:

    1;

    2;

    3;

    4。

    【解析1,

    ,

    。

    2,

    ,

    。

    3,

    ,

    。

    4,

    ,

    。

     

    【鞏固】

      1.求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.

    【解析,

    所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為

     

    2.求函數y=3x2在點處的導數.

    【解析因為

    所以,所求切線的斜率為6,因此,所求的切線方程為

     

    【拔高】

      1.已知函數可導,若,,求

    【解析

        

        

        

        

    2.在曲線y=x2上過哪一點的切線:

    1)平行于直線y=4x5;

    2)垂直于直線2x6y+5=0;

    3)與x軸成135°的傾斜角。

    【解析】,

    設所求切點坐標為Px0,y0),則切線斜率為k=2x0

    1)因為切線與直線y=4x5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,

    P2,4)。

    2)因為切線與直線2x6y+5=0垂直,所以,得,,

    。

    3)因為切線與x軸成135°的傾斜角,所以其斜率為―1。即2x0=1,得,,

    。

     

     

     

     

    課后作業

    【基礎】

    函數在某一點的導數是(  )

    A.在該點的函數的增量與自變量的增量的比

    B.一個函數

    C.一個常數,不是變數

    D.函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率

    【答案】C

    【解析】由導數定義可知,函數在某一點的導數,就是平均變化率的極限值.

     

    【鞏固】

    質點M的運動規律為s4t4t2,則質點Mtt0時的速度為(  )

    A44t0   B0

    C8t04   D4t04t0(2)

    【答案】C

    【解析】Δss(t0Δt)s(t0)t2t8t0Δt,

    Δt(Δs)t48t0,

    limΔt→0 Δt(Δs)limΔt→0 (4Δt48t0)48t0.

     

    【拔高】

    1.函數yf(x),當自變量xx0改變到x0Δx時,Δy(  )

    Af(x0Δx)   Bf(x0)Δx

    Cf(x0)·Δx   Df(x0Δx)f(x0)

    【答案】D

    【解析】Δy看作相對于f(x0)增量,可用f(x0Δx)f(x0)代替.

     

    2. f(x)xx0處可導,則limΔx→0 Δx(x0)(  )

    A.與x0,Δx有關

    B.僅與x0有關,而與Δx無關

    C.僅與Δx有關,而與x0無關

    D.與x0,Δx均無關

    【答案】B

    【解析】式子limΔx→0 Δx(x0)表示的意義是求f(x0),即求f(x)x0處的導數,它僅與x0有關,與Δx無關.

     

    編輯者:成都家教網www.csdkc.com)



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